如何计算两个函数相乘的积分-优出圈

如何计算两个函数相乘的积分

2024年 11月 3日上午10:37 • 网站随笔 • 阅读 68

如何计算两个函数相乘的积分？计算两个函数相乘的积分是微积分中的一个基本任务，通常称为定积分或不定积分，取决于是否指定了积分的上下限。

如何计算两个函数相乘的积分

不定积分是求函数 $f (x) \cdot g (x)$ 的原函数（或称为反导数）的过程。其一般形式为：

$\int f (x) \cdot g (x) d x$

求解这类积分通常需要使用一些积分技巧，如换元积分法、分部积分法等。其中，分部积分法特别适用于两个函数相乘的积分，其公式为：

$\int u d v = uv - \int v d u$

其中 $u$ 和 $d v$ 是通过选择 $f (x)$ 和 $g (x)$ 中的一部分而得到的，需要满足 $d u$ 和 $v$ 更容易积分。

定积分则是在指定区间 $[a, b]$ 上计算函数 $f (x) \cdot g (x)$ 的面积（或更一般地说，是某种累积效应）。其一般形式为：

$\int_{a b} f (x) \cdot g (x) d x$

求解这类积分通常也涉及到不定积分，因为定积分可以通过找到被积函数的不定积分（原函数），然后在积分上下限处求值来计算：

$\int_{a b} f (x) \cdot g (x) d x = F (b) - F (a)$

其中 $F (x)$ 是 $f (x) \cdot g (x)$ 的一个原函数。

假设我们要计算 $\int x cos (x) d x$ 。

使用分部积分法，我们可以设 $u = x$ 和 $d v = cos (x) d x$ ，则 $d u = d x$ 和 $v = sin (x)$ 。

根据分部积分公式，我们有：

$\int x cos (x) d x = x sin (x) - \int sin (x) d x$

继续求解 $\int sin (x) d x$ ，我们得到 $- cos (x)$ 。

因此，原积分的结果为：

$\int x cos (x) d x = x sin (x) - cos (x) + C$

其中 $C$ 是积分常数。

对于定积分，我们只需在上述结果中代入积分上下限并相减即可。例如，计算 $\int_{0 π /2} x cos (x) d x$ ：

$\int_{0 π /2} x cos (x) d x = [x sin (x) - cos (x)]_{0 π /2} = (2 π \cdot 1 - 0) - (0 - (- 1)) = 2 π - 1$

如何计算两个函数相乘的积分